ランダウアーの理論（量子化コンダクタンス）とは？

ランダウアーの理論の特徴は、直流伝導を扱うのに、試料の両端に電子だめ（reservoir) を導入したことにある。ランダウアーのモデルは図のようなものである。 試料Ｓはリード線Ｌ１、Ｌ２によって電子だめＲ１、Ｒ２につながれている。 電流を駆動するのは電場ではなくて電子だめＲ１、Ｒ２の化学ポテンシャルｑ１、ｑ２の 差である。ここでは、ｑ１＞ｑ２とする。

ランダウアーの理論の出発点は次の三つの仮定である。
１．二つのリード線と試料の中ではエネルギーがｑ２以下の状態はすべて電子で 占められている。
２．リード線Ｌ１の中では、速度が右向き（Ｒ１からＲ２の方向）で エネルギーがｑ１以下の状態はすべて電子で占められている。
３．電子だめＲ２の中にエネルギーがｑ２より大きい電子が入れば 直ちにエネルギーが緩和してｑ２の直上の状態に遷移する。また、電子だめＲ１の 中からエネルギーがｑ１より小さい電子が出れば、ｑ１の直下の状態から直ちに 補給される。

リード線の中で波数がｋの電子のエネルギーをＥ（ｋ）とすると、 その電子の運ぶ電流は、電荷と群速度の積−ｅｄＥ（ｋ）／ｈｄｋである。 仮定１からリード線Ｌ１中ではエネルギーがｑ２より小さい状態にいる 電子の運ぶ電流は打ち消しあって０となる。エネルギーｑ１とｑ２の間にある 右向きに走る電子が運ぶ電流はＥ（ｋ１）＝ｑ１、Ｅ（ｋ２）＝ｑ２とすると、

Ｉ0＝−ｅ（ｑ１−ｑ２）／２πｈ

となる。ただし、電子の一部は試料で反射されるので 透過率をＴとするとＩ＝Ｉ0Ｔである。一般にＴは エネルギーに依存するが、ここではｑ１とｑ２の差は充分小さく、この間では Ｔはエネルギーによらないとする。 二つの電子だめの電位差はＶ＝（ｑ１−ｑ２）／（−ｅ）であるから コンダクタンスは

Ｇ＝Ｉ／Ｖ＝（２ｅ2／ｈ）Ｔ

となる。これがいわゆるランダウアーの公式である。


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